Pariz, kolovoza 1900. Prva metro linija vozi jedva jedan mjesec, Olimpijske igre se održavaju u Ateni, a svjetska izložba predstavlja vizije razvoja predstojećeg 20. stoljeća. Možda su zbog gužve i vrućine zakazali znanstvenici: samo 230 od očekivanih 1000 sudionika prisustvovalo je drugom Međunarodnom matematičkom kongresu.

Među njima je i 38-godišnji David Hilbert, profesor iz Göttingena. Od predsjedatelja Njemačkog udruženja matematičara (DMW) očekuje se pregled razvoja matematike u 19. stoljeću. A govornik ne gleda unatrag nego naprijed. Do zadnje minute je bilo tako u izlaganju njegova predavanja naslovljenog Matematički problemi. Hilbert je toj znanstvenoj disciplini, svojom listom neodgovorenih pitanja, želio zadati program za naredna desetljeća.

Ovo je sedmi tekst u serijalu o matematičarima i matematici Fundamentalna grupa

„Tko od nas ne bi želio podići veo iza kojeg se krije budućnost i baciti pogled na predstojeće napretke naše znanosti i proviriti u tajne njezinog razvoja predstojećih stoljeća!“, započinje on svoje predavanje na njemačkom. Deset problema koje predstavlja prolaze svim područjima matematike: teorija skupova, teorija brojeva, geometrija, teorija dokaza, diferencijalne jednadžbe, sve do matematičke fizike. Još iste godine izaći će proširena lista sa 23 problema, a dvije godine kasnije pojavit će se i engleska verzija. Hilbertovi problemi postali su putokazi na putu matematike u 20. stoljeće.

Max Dehn, Hilbertov doktorand, Jevrej iz Hamburga, prvi je riješio jedan od tih problema. Još 1900. riješio je zadatak pod brojem tri. Taj problem povezan je sa sljedećim pitanjem: za dva dana poliedra (to su trodimenzionalna tijela poput kocke, piramide, oktaedra...) jednake zapremine, da li je uvijek moguće izrezati prvi od njih u konačno mnogo poliedralnih dijelova tako da se preslagivanjem dobije onaj drugi? Hilbert je pretpostavio da to nije uvijek moguće, što je Dehn i pokazao. (Hilbertov izvorni problem je malo drukčije, strožije, postavljen, ali iz Dehnova rada proistječe odgovor i na njega.)

Danas je veći dio od 23 problema ili riješen – ili su se ispostavili kao nerješivi. Jedan od slavnijih još neriješenih jest Riemannova hipoteza (postavio ju još 1859. njemački matematičar Bernhard Riemann), osma na Hilbertovoj listi, jedno od najzanimljivijih pitanja teorije brojeva. Prva na listi je Cantorova hipoteza kontinuuma, koju je 1878. postavio njemački matematičar jevrejskih korijena Georg Cantor, a „na izvjestan način“ riješio 1963. Paul Cohen, potomak jevrejskih doseljenika iz Poljske u Ameriku. (O njoj je bilo riječi u tekstu o Felixu Hausdorffu.)

David Hilbert, rođen 23. siječnja 1862, nije bio pop zvijezda kao Einstein. Ali je bio, za svoju disciplinu, revolucionar od slične važnosti. Bio je posljednji od svoga zanata, koji su imali pregled cijele matematike i matematičke fizike. No, i prije njegovog senzacionalnog predavanja u Parizu nije bio nepoznat.

Od njegove prve publikacije 1885. izgradio si je ime kao netko kome je stalo do fundamentalnog reda i strukture: uz 50 publikacija koje je objavio, ide i njegova knjiga Temelji geometrije iz 1899. U njoj je zasnovao moderni pristup euklidskoj geometriji, kroz dvadeset aksioma koji utemeljuju tu teoriju. Sedam godina prije je sistematskim istraživanjem potpuno riješio velike probleme takozvane teorije invarijantnosti i time „nasadio“ Paula Gordana, Jevreja rođenog u današnjem Wrocławu, nadaleko priznatog majstora te discipline koji je nosio nadimak „kralj teorije invarijantnosti“. Od njega se tada čula (vjerojatno) frustrirana izjava: „To nije matematika, nego teologija.“

[Za one koji žele znati više (i imali su komutativnu algebru na studiju matematike): Hilbert je dokazao teorem koji se danas zove Hilbertov teorem o bazi, slavni teorem koji je kao posljedicu imao „smrt“ teorije invarijanti. On kaže da je polinomijalni prsten nad Noetherinim prstenom Noetherin prsten. (Emmy Noether jedna je od najznačajnijih matematičarki, Jevrejka iz Bavarske koja je doktorirala kod Gordana. Njoj će vrijediti posvetiti cijeli tekst.)]

Uistinu je Hilbert matematici pristupao fundamentalno. Nije se trudio oko aritmetike, nego oko apstraktnih struktura koje su stajale iza. Hilbert je matematiku smatrao formalnom igrom, strukturiranom od pravila. U geometriji se stotinama godina ponavljao Euklid: „Linija je dužina bez širine“ – geometrija kao formalizacija naših intuitivnih predstava o točci, liniji i trokutu.

Ovog konkretnog pogleda na stvari se Hilbert rješava. Umjesto toga on postavlja pravila („aksiome“), koji moraju vrijediti u geometriji – na primjer: „Kroz dvije tačke postoji jedan i samo jedan pravac.“ Aksiomi objašnjavaju odnose objekata međusobno: struktura umjesto intuicije. Umjesto „tački, linija, ravni“ morali bismo, u svakom trenutku, moći kazati „ljubav, zakon, dimnjačar“ ili „stolovi, stolice, krigle“, tako glasi njegov credo. Njegov radikalni prekid sa intuicijom postao je izvozni hit. Hilbert je univerzitet u Göttingenu u tom trenutku učinio središtem matematičkog svijeta, odakle se krenulo u pobjednički pohod apstraktne algebre u 20. stoljeću.

Kada se jednom postave temelji kako trebaju, tada bi principijelno trebali biti rješivi svi matematički problemi, mislio je optimist Hilbert. „To je problem, traži rješenje. Možeš ga pronaći čistim mišljenjem; jer u matematici ne postoji ignorabimus!“ (latinski: ne znamo i nećemo nikada znati). Nepokolebljivo Hilbertovo uvjerenje je glasilo – svaka matematička tvrdnja je ili istinita ili pogrešna, i ako je istinita onda se da strogo logički dokazati.

No, tu je majstor pogriješio. Baš se to moralo pokazati na drugom problemu Hilbertove liste, koji je zahtijevao konzistentnost aksioma aritmetike: u logičkom svijetu, koji se temelji na fundamentalnim zakonima računanja, ne bi trebalo biti tvrdnji koje bi se ujedno mogle dokazati i opovrgnuti.

Međutim, 1930. je Kurt Gödel, austrijsko-američki matematičar rođen u njemačkoj obitelji u Brnu, uz Aristotela i Gottloba Fregea najveći logičar u povijesti, na marginama godišnjice Njemačkog udruženja matematičara i Njemačkog društva prirodo-znanstvenika i liječnika u Hilbertovom rodnom gradu Königsbergu, potaknuo diskusiju koju će iduće godine izdati kao „Načelo nepotpunosti“. U njoj je dokazao da Hilbetov problem broj dva nije rješiv: u matematici u kojoj je dozvoljeno brojanje i zbrajanje, uvijek će biti tvrdnji koje se neće moći ni dokazati niti opovrgnuti.

Matematika je nastavila dalje i prošla je pored Hilberta. Najzad je morao prihvatiti Gödelov dokaz, iako mu se opirao. Ali to nije odmah uvidio: na istoj konferenciji, na kojoj se činilo kako Gödel matematici izbija tlo pod nogama, Hilbert je proglašen počasnim građaninom Königsberga. U njegovom govoru, koji je prenosio i radio, potvrdio je još jednom svoje uvjerenje: „Za nas ne postoji ignorabimus, i prema mojem mišljenju ni za prirodnu znanost uopće. Umjesto budalastog ignorabimusa vrijedi naprotiv naše rješenje: moramo znati, i znat ćemo.“ („Wir müssen wissen. Wir werden wissen.“ piše na njegovom nadgrobnom spomeniku.)

Nepokoleban u svom znanstvenom optimizmu, morao je Hilbert promatrati kako njegovo götingenško životno djelo razaraju nacionalsocijalisti. Jevrejski matematičari i oni koji su bili u braku za Jevrejkom/Jevrejom prognani su sa univerziteta, neki su stradali u logorima, a već 1934. godine Hilbert je za svoj institut izjavio: „Pa on više i ne postoji!“ Njegova smrt 1943. je u Njemačkoj jedva primijećena, posljednjem ispraćaju prisustvovao je jednoznamenkast broj ljudi.

*

Osnovu za ovaj članak čini tekst Der Einstein der Mathematik, autorâ Güntera M. Zieglera i Andreasa Loosa, objavljen u njemačkom Die Zeitu 2012, a kojeg je za potrebe ovog članka preveo Darko Pejanović. Taj tekst upotpunjen je i proširen komentarima koje potpisuje Franjo Šarčević.

Prometej.ba/20.2.2017.