Istraživanja Vladimira Varićaka u području Einsteinove teorije relativnosti

Varićak se dopisivao s Einsteinom, a njegov sin Svetozar je stanovao kod Einsteina za svog studija u Zürichu.

Varićakovo istraživanje teorije relativnosti ne samo što je u vezi s njegovim radom na neeuklidskoj geometriji Lobačevskoga, nego ga je istraživanje te geometrije i navelo u drugoj fazi rada na teoriju relativnosti i njezino povezivanje sa spomenutom geometrijom.

Prvi rad iz područja neeukidske geometrije bila je rasprava Primjene o jednoj interpretaciji geometrije Lobačevskoga koja je izašla u Radu Jugoslavenske akademije znanosti i umjetnosti god. 1903.

Geometrija Lobačevskoga nastala je još u godinama između 1823. i 1825, ali tada još nije imala gotovo nikakvog utjecaja na razvoj matematike, budući da se nije uklapala u tadašnja gledišta o karakteru matematike koja je formulirao Kant. Naime, iako je geometrija nastala iz iskustvenih rezultata s vremenom su se oni idealizirali i apstrahirali. U 17. i 18. stoljeću sve se više zaboravljalo na njezino iskustveno podrijetlo i više naglašavalo da matematika može biti samo takva kakva slijedi iz Euklidovih aksioma. Kant je zato mogao u drugoj polovini 18. stoljeća lako istaknuti da je ona urođena ljudskom duhu i da je to razlog što ne može biti drugačija. Zbog toga nije bilo godinama novih poticaja u neeuklidskoj geometriji. Tek kad je god. 1868. Beltrami pokazao kako se analitički aparat geometrije Lobačevskoga može primijeniti u teoriji površine konstantne negativne zakrivljenosti postala je ta geometrija zornijom i prihvatljivijom u okviru navedenih gledišta. Osamdesetih godina 19. stoljeća je H. Poincaré uveo zgodniju interpretaciju te geometrije tako što je takvu pseudosferu preslikao u poluravninu. Takvom interpretacijom geometrije Lobačevskoga bavili su se mnogi matematičari, a među njima L. K. Lahtin i A. Schwarz, koji su svojim radovima potakli Varićaka da se i sam počne baviti Poincaréovom interpretacijom geometrije Lobačevskoga.

U tom prvom svom radu Varićak je izveo relacije između Descarteovih koordinata u Euklidovoj ravnini i koordinata u geometriji Lobačevskoga. Nakon toga je to proširio, pa je našao relacije između prostornih koordinata u Euklidovoj i u Lobačevskovom prostoru, čime je znatno proširio Lahtinova istraživanja.

Tijekom sljedećih šest godina, naime do god. 1909, Varićak je koristeći ovaj model rješavao razna pitanja neeuklidske geometrije i objavio više radova, u kojima je pretežno istraživao probleme pravca i to u ravnini i u prostoru. Kod toga je dao nove oblike jednadžbi u analitičkoj geometriji Lobačevskoga. God. 1907. je on objavio i opširan rad Prvi osnivači neeuklidske geometrije u kojem nije samo sustavno prikazao postanak i temelje neeuklidske geometrije, nego je iznio i svoja načelna gledišta o neeuklidskim geometrijama i osnovama geometrije uopće koja su s tim u vezi.

Činjenica da se neeuklidska geometrija može interpretirati euklidski navela je neke matematičare da zaključe kako je neeuklidska geometrija samo dio euklidske, pa je tako mogla biti prihvaćena i u okviru Kantove koncepcije. Time bi izgledalo da je problem jedne jedine geometrije riješen, ali to ipak nije bilo tako. Varićak postavlja načelni prigovor i napominje da bi se slično i euklidska geometrija mogla smatrati dijelom geometrije Lobačevskoga budući da na graničnoj kugli Lobačevskoga postoji euklidska geometrija. Ne može biti dakle govora o nikakvom postavljanju neeuklidske geometrije u okvir Euklidove. Varićak zaključuje:

„Onako se dakle ne smije zaključivati. Ovim euklidskim interpretacijama neeuklidske geometrije čini se u geometriji ono isto, što se u fizici vrlo često radi, kad se izvjesna teorija prenosi iz jednoga područja u drugo. Za električne pojave postavljaju se na pr. mehanički modeli, hidrodinamičke analogije itd., pa zato ipak niko ne će reći, da su električni pojavi identični s ovim mehaničkim slikama. Kod ovih slika ne preslikavaju se sami objekti istraživanja, nego samo relacije, koje među njima postoje. Sugestivna snaga analogije očituje se neprestance u naučnim istraživanjima…“

U tom radu se Varićak osvrće i na neka pitanja matematičke filozofije koja su potaknuta upravo pojavom neeuklidske geometrije. Kant je držao da je Euklidova geometrija urođena u ljudskom duhu, pa kao takva mora da bude jedina moguća. Varićak se protivi tome. Za njega je geometrija izvedena iz iskustva a dugotrajnom upotrebom se samo stvorio dojam da ona s njim nema veze. Pojava neeuklidskih geometrija u 19. stoljeću dokazuje upravo da Euklidova geometrija ne može zadržati apodiktičnu sigurnost. Proizašavši iz iskustva Euklidova geometrija je dobila kao temelj sustav aksioma koji su aproksimativno u skladu s njim. Upravo zato što nismo sigurni da se euklidovska geometrija u potpunosti slaže sa zbiljom ona ostaje samo pretpostavka. Varićak piše:

„Rekosmo, da kod postavljanja aksioma sudjeluje iskustvo, no geometrija se od drugih, recimo eksperimentalnih nauka razlikuje time, što se ona – kad su postavljeni aksiomi – pretvara odmah u čisto deduktivnu nauku. I ako joj osnove potječu iz iskustva, metoda je geometrije deduktivna. U tom će biti jedan razlog, što je mišljenje o apodiktičnoj sigurnosti geometrije tako učvršćeno i što se teško priviknuti na mišljenje, da je na pr. Euklidov geometrijski sustav samo hipoteza, i to onakva kakve su hipoteze u fizici ili u mehanici, i da bi se za opisivanje realnih prostornih relacija tako isto mogao uzeti sustav Lobačevskoga ili koji drugi.“

U tom radu Varićak dalje smatra da se uopće ne može odlučiti je li naš dosadanji iskustveni prostor euklidski ili neeuklidski. Naime, ako bi se u Sunčevom sustavu interpretiralo gibanja planeta u okviru geometrije Lobačevskoga trebalo bi treći Keplerov zakon donekle modificirati, a drugi princip ploha ne bi postojao, ali bi odstupanje bilo neznatno, da se mjerenjem ne bi moglo konstatirali. Zato Varićak kaže:

„Hipoteza je Lobačevskoga ne samo logički, već i empirički ravnopravna Euklidovoj. No Euklidova hipoteza, koja se u historijskom razvoju geometrija pojavila prva, ima u primjenama odlučnu prednost, jer je mnogo jednostavnija. Zadovoljava dakle zahtjev ekonomije mišljenja bolje nego li hipoteza Lobačevskoga. Zato ćemo se s njom jedinom služiti u praktičnim primjenama geometrije. Ali principijelno njezino preimućstvo slomljeno je zauvijek.

Ovi pogledi nisu bili originalno Varićakovi, ali sam ih naveo da bih prikazao njegovo stanovište god. 1907. Bilo je tada još vrlo mnogo onih koji su bili uvjereni da iskustveni prostor ne može biti nikako drugačiji nego euklidovski, pa su se žestoko odupirali pogledima koje je između ostalih zastupao i Varićak. A upravo ti tadašnji Varićakovi pogledi potakli su ga kasnije da krene novim putem u shvaćanju zbilje.

U istom radu posmatra Varićak i odnos geometrije Lobačevskoga prema geometriji Euklida. Kako je apsolutna jedinica dužine u geometriji Lobačevskoga bar osam milijuna puta veća nego udaljenost Sunca od Zemlje, to su sve dužine kojima se služimo u praksi presićušne prema toj apsolutnoj jedinici, a za tu praksu tada formule Lobačevskoga prelaze u Euklidove. Analogija postoji i u fizici kod mehanike elektrona. Mehanika elektrona reducira se na zakone Newtonove mehanike kad uzmemo da su brzine dosta malene, a kod velikih brzina postoji velika razlika prema Newtonovoj mehanici, budući da u mehanici elektrona ne postoji zakon ustrajnosti, zakon reakcije, a i mase se mijenjaju s brzinom elektrona.

Nakon što je objavio taj rad Varićak je opazio da se ta analogija može još više proširiti. On je opazio da se Lorentzovo skraćenje može promatrati analogno s definicijom dužine u interpretaciji geometrije Lobačevskoga, a to ga je dovelo na pomisao da bi možda Lorentzovo skraćenje imalo za posljedicu neizotropnost prostora. Nadalje teorija relativnosti koju je objavio god. 1905. A. Einstein dala mu je nove poticaje u traženju analogije s fizikom. U teoriji relativnosti ne postoji paralelogram brzina, a u prostoru Lobačevskoga uopće ne postoji paralelogram. U teoriji relativnosti postoji pak apsolutna brzina svjetlosti c, a u geometriji Lobačevskoga postoji apsolutna dužina R, a i mnoge druge analogije postoje između teorije relativnosti i geometrije Lobačevskoga. To ga je navelo na pomisao da bi se Einsteinove formule mogle transformirati i dati im geometrijsko, neeuklidsko tumačenje. U tom smislu je on objavio počevši i god. 1910. više radova o tim pitanjima osobito u časopisu „Physikalische Zeitschrift“. U početku je Varićak dao samo neeuklidsko tumačenje već gotovih formula teorije relativnosti, ali je vrlo brzo otišao obrnutim putem, naime on je pretpostavio da se pojave zbivaju u prostoru Lobačevskoga, pa je formule u teoriji relativnosti izveo geometrijskim putem.

Varićak je zaključio da se svi izrazi u teoriji relativnosti mogu interpretirati neeuklidskom geometrijom isto tako kao što se klasična fizika može interpretirati u okviru Euklidove geometrije. Ta je analogija tako velika, tvrdi Varićak, da se ponekad može ostaviti netaknute formulacije temeljnih poučaka klasične teorije, a dovoljno je da se euklidske likove zamijeni korespondentnim likovima neeuklidskog prostora. U skladu s tim uvjerenjem Varićak je u nekoliko radova obradio sastavljanje brzina, aberaciju svjetla, Dopplerov princip, odbijanje svjetla od pokretnog zrcala, vektorsku algebru, dinamiku materijalne točke, Lorentzovu transformaciju, transformaciju Tamakija i transformaciju elektromagnetskog polja.

Nakon god. 1920. Varićak je objavio nekoliko radova u kojima je pored daljnjeg razrađivanja njegove temeljne ideje o vezi teorije relativnosti i neeuklidske geometrije razmotrio i kozmološke posljedice svojih stavova, posebno u pitanju strukture prostora u kojem se nalaze nebeska tijela. To je bila posljednja potpuno logična faza istraživanja koja je slijedila iz ranijih radova. Sustavni pregled svih svojih istraživanja o teoriji relativnosti i neeuklidskoj geometriji on je dao u knjizi Darstellung der Relativitätstheorie im dreidimensionalen Lobatschefskijschen Raume objavljenoj u Zagrebu god. 1924.

Nakon što je u toj knjizi prikazao kako se interpretiraju i izvode pojedine relacije teorije relativnosti u okviru geometrije Lobačevskoga, Varićak se u posljednjem poglavlju osvrće na posljedice takve primjene na kozmološku sliku svijeta. On napominje da se za opisivanje prirodnih pojava može koristiti bilo koji geometrijski sustav, ali se uvijek bira one geometrijske aksiome koji vode na jednostavne fizikalne zakone. „Za geometrijski sustav, koji nam daje najjednostavnije prirodne zakone, možemo mi također reći, da ga zahtijeva priroda, da taj na razmatranom mjestu svijeta zbiljski stoji, ili da prostor na tom mjestu posjeduje tu strukturu.“

U našem Sunčevom sustavu mogla bi vrijediti geometrija euklidska E, Lobačevskoga L ili Riemannova R, drugim riječima takva bi geometrija bila svojstvena prirodi. Ali mogli bismo za opis prirodnih pojava neovisno od toga upotrijebiti jedan od tih geometrijskih sustava, e, l, r. Tada su moguće sljedeće kombinacije:

Ee, Le, Re
El, Ll, Rl
Er, Lr, Rr

Na najjednostavnije relacije prirodnih zakona došlo bi se onda kad bi se Sunčev sustav opisalo kombinacijama na dijagonali Ee, Ll, Rr, budući da bi priroda bila razmatrana geometrijskim sustavom po kojem se ona vlada. Naprotiv, ako bi na opis prirodnih zakona bila upotrijebljena drugačija geometrija prirodni zako ne bi bili izraženi tako jednostavno. Ako bi raspored tvari u Sunčevom sustavu ime neeuklidsku metriku upotreba euklidske geometrije za opisivanje prirodnih zakona mogla bi čak dovesti do anomalije. Varićak drži da je takva anomalija pronađena i to u rotaciji Sunca i kod velikih planeta Jupitera i Saturna. Zato Varićak uzima da je fizikalni prostor neeuklidske strukture, a da je primijenjena geometrija euklidska, dakle, uzeta je kombinacije Le. Ako promatra rotaciju Sunca onda mu izlazi u ovoj kombinaciji da je kutna brzina na ekvatoru najveća, a da opada prema polovima Sunca. Ta anomalija prema Varićaku proizlazi upravo iz činjenice što je fizikalni prostor lobačevskijevski, a primijenjena geometrija je euklidovska. Varićak potkrepljuje to promatranjima Sunčevih mrlja koje je u 17. stoljeću vršio isusovac Scheiner, i iz njih odredio rotacione elemente Sunca. On je našao ono isto što i Varićak teoretski, naime da bi kutna brzina bila različita na različitim heliografskim širinama. Sve je to na kraju potpuno uvjerilo Varićaka da je naš fizikalni prostor neeuklidske strukture s negativnim predznakom kozmičkog parametra.

God. 1927. Varićak se natjecao za nagradu Lobačevskoga na natječaju koji je raspisalo Kazansko sveučilište. Za nagradu su se natjecali P. Koebe (Leipzig), G. Kowalewski (Dresden), Fr. Schilling (Danzig), J. Schouten (Delft), D. Struik (Rotterdam), V. Varićak (Zagreb) i H. Weyl (Zürich). Nagradu je dobio H. Weyl na temelju recenzije D. Hilberta. Ostali su dobili diplome. Varićak je na natječaj dostavio 41 rad, a recenziju je dao sovjetski matematičar A. P. Koteljnikov.

Koteljnikov je napisao opširnu recenziju u kojoj je prikazao Varićakove radove i na kraju se složio da Varićak potpuno zaslužuje da primi nagradu Lobačevskoga. Ali pored vrlo povoljne recenzije on je postavio i prigovore. Koteljnikov se složio da se u slučaju jednostavne i izvrsne interpretacije zakona slaganja brzina i interpretacije aberacije u teoriji relativnosti na temelju Lobačevskijeve neeuklidske geometrije može bez svake ograde u skladu s Borelom reći da princip relativnosti odgovara pretpostavci, da je kinetički prostor prostor stalne negativne zakrivljenosti, naime prostor Lobačevskoga i Bolyaia. Međutim, ako se slučaj sustava četiriju veličina, od kojih prve tri određuju položaj u prostoru, a četvrta vrijeme, prikazuje u trodimenzionalnom prostoru Lobačevskoga, to se, misli Koteljnikov, može upotrijebiti geometrijska interpretacija samo za pojave koje se zbivaju na plohi, budući da treća prostorna koordinata nije slobodna. A osim toga, po njegovom mišljenju, uspjeh koji je Varićak imao u svojim radovima u vezi s principom relativnosti ne može biti dokazom da naš trodimenzionalni prostor ima strukturu prostora Lobačevskoga „i ne daje nam pravo da u temelj principa relativnosti bez bilo kakvih ograda postavimo pretpostavku, da se pojave prirode koja nas okružuje zbivaju u trodimenzionalnom prostoru stalne negativne zakrivljenosti.

Danas ima prigovora nekim Varićakovim izvodima u primjeni geometrije Lobačevskoga na teoriju relativnosti, ali i bez obzira na to njegov zaključak da se prirodne pojave zbivaju u prostoru Lobačevskoga ne može imati potrebnu težinu. Naime, Varićak tvrdi da fizikalni prostor ima strukturu onog geometrijskog sustava koji najjednostavnije izražava prirodne zakone. Na temelju tog principa on zaključuje da je fizikalni prostor upravo strukture geometrije Lobačevskoga. Pojam jednostavnosti očito se međutim ne može uzeti kao mjerodavan za taj zaključak jer je taj pojam subjektivan a ne objektivan. Ali i potvrda koju Varićak nalazi u Scheinerovim promatranjima rotacije Sunca iz 17. stoljeća također nema dovoljno težine, jer su opažačke mogućnosti u 17. stoljeću bile vrlo ograničene, pogotovo za tako male razlike, koje su odlučne za to pitanje.

Pitanje je li struktura fizikalnog prostora euklidska ili neeuklidska postavljeno je već vrlo rano. Čim je pronađena neeuklidska geometrija Lobačevskoga i sam je Lobačevski postavio to pitanje, a Gauss je čak pravio pokuse da bi o tome odlučio. Međutim, Varićak je to pitanje postavio drugačije nego što su to učinili Lobačevski i Gauss koji su željeli mjerenjem o tome odlučiti. Varićak je naime htio zaključiti da je fizikalni prostor doista strukture neeuklidske geometrije konstantne negativne zakrivljenosti na temelju pretpostavke da princip relativnosti vrijedi u realnom svijetu i na temelju mogućnosti dovođenja teorije relativnosti u vezu s geometrijom Lobačevskoga. Međutim mišljenja o tome kakve je strukture fizikalni prostor bila su vrlo različita u Varićakovo doba, a još su i danas, da se uopće ne može govoriti o definitivnom rješenju tog problema.

Bez obzira na Varićakov zaključak o strukturi fizikalnog prostora, njegove su zasluge u pogledu isticanja i korišćenja analogije između interpretacije teorije relativnosti geometrijom Lobačevskoga i interpretacije klasične fizike euklidskom geometrijom dosta velike jer je on bio gotovo prvi koji ju je istaknuo. Tu analogiju istakli su istodobno ali neovisno još samo Herglotz i Robb. Pokazalo se da Varićakovo insistiranje na primjeni geometrije Lobačevskoga u teoriji relativnosti ima i svojih prednosti, pa je god. 1947. W. Pauli tvrdio da je veza geometrije Lobačevskoga i teorije relativnosti očevidna ako se geometrija promatra u projektivnoj shemi Calyley-a i Kleine-a. Bez obzira što gledišta učenjaka nisu jedinstvena u tom pogledu, Varićakova je zasluga u svakom slučaju što je potaknuo neka pitanja koja ni do danas nisu bespredmetna.

Autor: Žarko Dadić

Dijalektika: Časopis za metodološko-filozofske probleme matematičkih, prirodnih i tehničkih nauka, Beograd, 1979