Modernom čovjeku teško je zamisliti život bez broja 0, jednako kao što mu ga je teško zamisliti bez broja 1 ili broja 100. Nula nam danas ne označava samo činjenicu da je reprezentacija izgubila utakmicu s nulom ili da je u frižideru ostalo nula pakovanja jogurta. Ona je mnogo više od toga.

No nije uvijek bilo tako. Iako praktična upotreba nule seže u početke povijesti – jer i najstariji ljudi i njihovi hominidni preci znali su primijetiti odsustvo hrane ili drugih resursa – trebala su proći tisućljeća da bi se ta činjenica matematizirala, da bi se predstavila numerički. Jer, prirodno gledajući, brojevi su tu da predstave neku vrijednost, a nula je upravo nešto što nema nikakvu vrijednost. Uostalom, nećemo ni reći da je u frižideru ostalo nula pakovanja jogurta nego da nema više nijedno pakovanje jogurta.

Riječima filozofa i matematičara A. N. Whiteheada, „nitko ne ide da kupi nula riba. Nula je na neki način najciviliziraniji od svih glavnih brojeva, na čiju smo upotrebu prisiljeni potrebama kultiviranih načina mišljenja“.

Ključno pitanje bilo je dakle, kako konceptu ničega pridružiti neku vrijednost. Susrete s određenim konceptom nule nalazimo u Mezopotamiji, u starom Babilonu, u periodu od oko 4000 godina unazad. No, to je bio „samo“ dobar početak priče.

Naime, Babilonci su – kao i mi danas – koristili pozicioni način zapisivanja brojeva, koji su naslijedili od Sumerana. To znači da vrijednost broja zavisi od položaja svakog simbola u odnosu na druge simbole. Objasnimo to modernim jezikom: šta razlikuje brojeve 101 i 110? Razlikuje ih to što se u prvom slučaju 0 nalazi između 1 i 1, a u drugom slučaju iza 1 i 1, koji se pak nalaze jedan do drugog.

Naravno, Babilonci nisu koristili takve oznake za brojeve, a i brojevni sistem u kojem su radili bio je drukčiji od našeg. Mi upotrebljavamo sistem s bazom 10. Znamenke ili cifre tog sistema su 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Taj sistem zove se dekadski. Takav sistem, na svoj način, upotrebljavali su i stari Egipćani i Grci. Međutim, nije to jedini brojevni sistem u kome se može raditi. Nama je on najprirodniji, no kompjutorima na primjer nije – oni se najbolje snalaze u binarnom sistemu, u kome je baza 2 i u kome imaju samo dvije cifre, 0 i 1. Jedna lokalna znanstveno-fantastična priča kaže da vanzemaljci s planeta Gongo upotrebljavaju kvaternarni brojevni sistem, tj. sistem s bazom četiri. On je njima najprirodniji sistem, s obzirom da imaju samo jednu ruku s četiri prsta.

Babilonci su pak, za razliku od Sjevernih Makedonaca, kompjutora i vanzemaljaca s planeta Gongo, radili u tzv. heksagezimalnom sistemu – to je sistem s bazom šezdeset. Odakle baš šezdeset, neka ostane za drugu priliku. Iz babilonske astronomije pak baštinimo podjelu sata na 60 minuta, minute na 60 sekundi, kruga na 360 stupnjeva.

U zapisivanjima brojeva i računanjima, Babilonci su koristili nulu (naravno u svojim oznakama) „samo“ kao alat za zapisivanje brojeva, kao način da razlikuju na primjer stotinu jedan od stotinu deset. Nisu samoj nuli pripisivali numeričku vrijednost niti su s njom vršili računske operacije. Ukratko rečeno, poznavali su i koristili nulu kao cifru, ali ne i kao broj!

Otkriće nule kao vrijednosti po sebi bit će jedan od ugaonih kamena razvoja ljudske civilizacije. To otkriće dugujemo staroj Indiji. Vjerojatno prvi zapis koji uključuje nulu kao broj potječe iz Bakhshalijevog manuskripta, no postoje određena razilaženja oko njegove starosti. U svakom slučaju, da priča ostane u Indiji, ono što je sigurno jest da je matematičar Brahmagupta u 7. stoljeću napisao prvu knjigu u kojoj je nula spomenuta kao broj. Indijci Brahmaguptinog doba koristili su i negativne brojeve – za što drugo nego da označe koliko je tko kome dužan. Nula je tako i razdjelnica dvaju podskupova brojeva: desno od nule su pozitivni, a lijevo su negativni brojevi.

Brahmagupta je prvi dao sistematičnu prezentaciju pravila za računanje s negativnim brojevima i s nulom, ali je ipak s nulom imao određenih problema. Naime, nije znao šta se dobiva kada se nula dijeli s nulom, no hvala mu na svemu drugom, to mu ne treba zamjeriti. Taj problem je isuviše težak za bilo kojeg čovjeka njegovog doba i riješen je tek krajem 17. stoljeća.

Odakle Indijcima hrabrost da uvedu nulu kao broj? Ona vjerojatno potječe iz hinduističke religije, i budizma kao njezinog derivata, gdje praznina, ništavilo, imaju važno mjesto. Indijska riječ za nulu bila je „sunya“, što doslovno znači „prazno“. Druge civilizacije i religijske tradicije teže su se mirile s konceptom ničega. Uostalom, teško da možemo reći da u prirodi postoji nula. Ni vakuum nije potpuno prazan prostor, savršeni vakuum je nemoguće praktično postići. Nije dakle čudno da se nula ne računa u prirodne brojeve.

Osim nule, Indijci su razvili brojevni sistem s deset simbola: temelj ovoga što baštinimo danas.


S rađanjem i usponom islamske civilizacije te putovanjima arapskih trgovaca u Indiju, u Bagdad su oko 733. godine donijeti nula i indijski brojevi, koje u arapskoj formi koristimo danas. Veliko ime tadašnjeg arapsko-perzijskog svijeta je Al-Hvarizmi (c. 780 – c. 850), koji je prvi radio s jednadžbama koje su jednake nuli. On je nulu zvao „sifr“, od čega potječe riječ „cifra“ u mnogim jezicima. Da stvaranje novih riječi ne završi na tome: od jedne riječi iz naslova Al-Hvarizmijevog djela „Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala“ poslije je skovan pojam „algebra“. Zbog toga se Al-Hvarizmija ponekad naziva ocem algebre, što je čast koja ipak s pravom pripada grčkom matematičaru Diofantu iz 3. stoljeća.

S arapskim osvajanjem Sjeverne Afrike i Španjolske, nula i arapsko-indijski brojevi došli su u Evropu. Najzaslužnija osoba za njihovu popularizaciju u Italiji, a zatim diljem Evrope, bio je Leonardo Fibonacci (c. 1170 – c. 1250), sin trgovca iz Toskane s kojim je često odlazio na putovanja Mediteranom. Trgovci i bankari su prvi shvatili prednosti tog sistema, no postojali su i različito motivirani otpori – primjerice, problem je bio što se jedan simbol može lako „preoblikovati“ u drugi i tako ići na ruku prevarantima. Recimo, dovoljno je dopisati po jednu crticu da 11 postane 44. S druge strane, zapisano rimskim brojevima, 11 je XI, a 44 je XLIV pa je manja mogućnost manipulacije.

Van toga, rimski brojevi su bili zastarjeli, glomazni, u velikom deficitu zbog nepoznavanja nule, i bilo je pitanje stoljeća kada će potpuno izaći iz praktične upotrebe. Tko bi volio dijeliti broj MMMCMLXXXVII s brojem MDCCCLXVIII... Tako je do kraja 15. i početka 16. stoljeća rimskim brojevima odbrojano, a indijsko-arapski su u Njemačkoj konačno stilizirani u oblik u kojem ih danas pišemo.

Valja ovdje istaći jednu stvar s kojom površni poznavaoci povijesti znanosti uglavnom nisu načisto. Rekosmo da su brojevi koje danas zovemo arapskima originalno indijski. Znači li to da su Arapi „ukrali“ te brojeve od Indijaca? Naravno da ne znači. Osim toga, arapsko-perzijski matematičari, od Al-Hvarizmija pa nadalje su bili veoma pošteni i te brojeve su nazivali indijskim brojevima. Kasnije će u Evropi oni biti nazvani arapskim. Tako stvari inače stoje: znanje se širilo iz Egipta, Grčke, Indije, Kine..., u svakoj etapi povećavano i poboljšavano, kasnije su ga preuzeli Arapi i Perzijanci, pa zatim Talijani i onda od njih drugi dijelovi Evrope. U tom hodu ono je raslo, manjom ili većom brzinom, da bi najveće zamahe postiglo u posljednjih 300 godina – zamahe koji su nam omogućili da s konjskih kola i golubova pismonoša dođemo do aviona i pametnih telefona.

Za daljnje ozbiljnije stvari s nulom pobrinuo se u 17. stoljeću René Descartes uvođenjem koordinatnog sistema koji će se po njemu nazvati Dekartovim (ili Kartezijusovim, po njegovom latiniziranom prezimenu). Ishodište tog koordinatnog sistema u ravnini, tj. koordinatni početak, je tačka (0,0). Koliko je samo dobra čovječanstvo dobilo s tom Descartesovom revolucijom.

No, ostalo je i dalje ono pitanje što je mučilo i Brahmaguptu: šta je 0 podijeljeno s 0. Te dileme riješili su Isaac Newton i Gottfried Leibniz krajem 17. stoljeća, razvivši infinitezimalni račun: odnosno, započevši ono što danas zovemo matematičkom analizom ili kalkulusom. Izraženo jezikom graničnih vrijednosti (limesa) funkcija, 0/0 može biti i 0 i 25 i minus 1 i beskonačno i bilo šta drugo, zavisno od toga „kakva“ je nula u brojniku ili nazivniku. Matematičkoj analizi možemo zahvaliti ne samo završne korake u razumijevanju nule, već i izgradnju moderne znanosti, a samim tim i moderne civilizacije uopće. Newton i Leibniz su otkrićem (ili izumom? – eto jedno važno pitanje filozofije matematike!) infinitezimalnog računa napravili jednu od najvećih revolucija u povijesti čovječanstva. Kad čujete na primjer za derivaciju (izvod) ili integral, zahvalite se njima (odnosno prokunite njih, zavisno od toga u kakvom ste odnosu s osnovama matematike).

A ni priča oko broja 1 nije tako jednostavna kako se čini na prvi pogled...

Franjo Šarčević, Prometej.ba

Broj π (Pi) „stariji“ je od broja 0. O njemu smo pisali u tekstu Kratka povijest broja π