14. ožujka odnosno datuma 3/14 obilježava se Dan broja π (Pi). Razlog je očit: približna vrijednost broja π zaokružena na dvije decimale je 3.14. Naravno, π nije jednako 3.14 i u svakom smislu je mnogo više od 3.14.

Broj π jedna je od najmagičnijih matematičkih konstanti. Pojavljuje se u nevjerojatnim situacijama, u različitim matematičkim oblastima, od geometrije i topologije do analize, algebre i teorije vjerojatnosti. Originalno, π predstavlja omjer duljine kružnice i promjera te kružnice. Kad kažemo „kružnice“, mislimo na baš svaku kružnicu. Koliko god kružnica bila „mala“ ili „velika“, duljina te kružnice podijeljena s njezinim promjerom je uvijek ista i iznosi π. Podsjetimo se davnog školskog gradiva, kružnica je definirana kao geometrijsko mjesto tačaka u ravnini jednako udaljenih od jedne fiksne tačke koja se zove centar, a promjer je duljina dužine koja prolazi kroz centar kružnice a krajevi su joj na kružnici.

Činjenica da je omjer duljine kružnice i njezinog promjera uvijek konstantan, poznata je ljudima najmanje 4000 godina. Moguće je, naravno, da su ljudi toga bili svjesni i prije, no iz tog vremena seže prvi tekstualni dokaz poznavanja onoga što danas označavamo brojem π. Stari Babilonci zaokruživali su vrijednost omjera na 3, dok na glinenoj pločici staroj između 3900 i 3700 godina upotrebljavaju vrijednost 3.125. Rhindov papirus iz starog Egipta (1650. pr. Kr.) upućuje da su Egipćani taj omjer procjenjivali na 3.1605.

Grčki matematičar Arhimed (III stoljeće pr. Kr.) računao je približnu vrijednost broja π upisujući mnogokute u kružnice i opisujući ih oko kružnice. Što se više mnogokuta upiše/opiše, dobija se sve preciznija vrijednost. Arhimed je dobio da se broj π nalazi između 223/71 i 22/7, drugim riječima da njegova približna vrijednost na dvije decimale iznosi 3.14.

Metoda koju je osmislio Arhimed bila je zabava mnogim matematičarima kroz naredna stoljeća, od stare Grčke, Kine, Indije, Perzije do srednjovjekovne Italije i Evrope ranog novog vijeka, no mogli bismo reći da je to sve bilo kopanje tunela krampom. Svakako najpoznatiji takav krampaš bio je njemačko-nizozemski matematičar Ludolph Van Ceulen (1540-1610). Trećinu svojeg 70-godišnjeg života potrošio je na određivanje što više decimala broja π. Na kraju je uspio izračunati π na 35 decimala, što je bio dotadašnji svjetski rekord. Naravno, taj rezultat je uklesan na njegov nadgrobni spomenik, a u Njemačkoj i drugdje broj π se dugo vremena zvao Ludolfov broj.

Treba svakako napomenuti da ni Van Ceulen ni drugi prije njega nisu upotrebljavati grčko slovo π da označe stvar o kojoj govorimo – oznaka π upotrebljava se tek od 18. stoljeća. Uveo ju je britanski matematičar Jones, a popularizirao jedan od najvećih – Leonhard Euler.

Sreća je da Ludolph Van Ceulen nije imao metuzalemovski vijek pa doživio godine kada počinje da se razvija „prava“ matematika. Naime, s razvojem teorije redova i matematičke analize uopće broj π mogao se „računati“ mnogo preciznije za mnogo kraće vrijeme. Ključna stvar jest da se π dobije kao beskonačni zbroj običnih razlomaka, što se može učiniti na razne načine. Danas, upotrebom kompjutora koji su tu da u kratkom roku obave ogromnu količinu računskih operacija, broj π izračunat je na trilijune (!) decimala.

Tim decimalama, naravno, nema kraja. Naime, π je iracionalan broj. Šta to znači?

Svi realni brojevi dijele se u dvije grupe: racionalne i iracionalne. Ako se broj može napisati u obliku razlomka, tj. kao količnik dva cijela broja, za njega kažemo da je racionalan. Primjerice, 3 i 1/5 su racionalni brojevi. Racionalan je i broj 3.14, s obzirom da se on može napisati kao razlomak 314/100. Svaki racionalan broj ima ili konačan decimalni zapis ili periodično beskonačan. Primjerice, 1/5 ima konačan decimalni zapis: to je 0.2. Broj 37/20 također ima konačan decimalan zapis: to je 1.85. Šta znači periodično beskonačan decimalni zapis? To je ono što na primjer ima 1/7. Decimalni zapis tog broja je 0.142857142857142857... i tako dalje do u beskonačnost. Cijelo „vrijeme“ ponavlja se blok [142857]. Želite li odrediti primjerice 878. decimalu tog broja, nema problema: lako vidite da će to biti 4.

Još jednostavniji primjer takvog razlomka je 2/3. Njegov decimalni zapis je 0.666666..., dakle 6-ica se ponavlja do u beskonačnost.

Šta razlikuje neki iracionalan broj, primjerice korijen iz 2, π i tako dalje, od racionalnih brojeva 2/3 i 1/7? Decimalni zapis tih i drugih iracionalnih brojeva je beskonačan i neperiodičan, što znači da nema nikakve pravilnosti u redanju tih decimala: ako znamo samo prvih 35 decimala, ne možemo nikako zaključiti šta je 36., ako znamo prvih milijardu decimala, to nam ništa ne govori koja je milijardu i prva.

Da stvar bude još ljepša, broj π je ne samo iracionalan, što je 1761. dokazao švicarski matematičar Johann Heinrich Lambert, nego je i transcendentan, što je 1882. godine dokazao njemački matematičar Ferdinand von Lindemann. Dokazom da je broj π transcendentan indirektno je dokazana i nemogućnost kvadrature kruga, tj. nemogućnost da se za dani krug u konačno mnogo koraka, koristeći samo šestar i lenijar, konstruira kvadrat jednake površine kao taj krug. Nažalost, i dan danas diljem svijeta pojavljuju se razni šarlatani, koje neupućeni novinari zovu matematičarima, nudeći „rješenja“ kvadrature kruga.

Široj publici svakako bi teško bilo shvatiti što znači to da je neki broj transcendentan. Recimo samo da među svim realnim brojevima transcendentnih brojeva ima „najviše“, iako ih je otkriven samo mali broj – svi ne mogu ni teoretski biti otkriveni s obzirom da ih ima neprebrojivo mnogo. To „neprebrojivo mnogo“ znači, recimo, da se ne bi mogli prebrojati ni ako bismo imali beskonačno mnogo vremena za taj posao.

Skup svih racionalnih brojeva skupa sa svim iracionalnim brojevima poput korijena iz 2 ili petog korijena iz 13 je prebrojiv – to znači da bismo ih ipak mogli sve prebrojati ako bismo imali beskonačno mnogo vremena za taj posao.

O savršenstvu i magičnosti matematike govori i jedna jednakost koja se zove Eulerov identitet. Ona povezuje pet najvažnijih matematičkih konstanti: broj π, broj e koji je također transcendentan i predstavlja bazu prirodnog logaritma, imaginarni broj ι koji ima osobinu da je njegov kvadrat jednak minus 1, broj 0 i broj 1. Dignete li broj e na ι puta π i dodate mu 1, dobit ćete 0. Po gotovo konsenzualnom mišljenju matematičara, to je najljepši identitet uopće.

Ni na desetke tisuća stranica ne bi se moglo ispričati sve o broju π, od njegove povijesti do pregleda svih matematičkih oblasti i rezultata gdje se π pojavljuje.

O popularnosti broja π govori i to da ima ljudi koji napamet (kakvo besmisleno gubljenje vremena i života!) uče decimale tog broja i natječu se tko će ih naučiti više. Mnogo ljudi diljem svijeta, a posebno u Indiji i na Dalekom istoku, s gotovo religioznom strašću pristupa tom broju. Prema Svjetskoj rang listi broja π, rekord drži jedan Indijac koji je 21. listopada 2015. neprekidno, zatvorenih očiju, za 17 sati i 14 minuta nabrojao 70 030 decimala broja π i tako srušio dotadašnji rekord od 70 tisuća decimala koji je postigao jedan njegov sunarodnjak pola godine ranije. Ukupno je 7 ljudi zapamtilo više od 40 000 decimala, a njih 26 zapamtilo je 10 tisuća ili više.

Na dan broja π 1879. godine rođen je Albert Einstein, a 2018. umro Stephen Hawking.

Franjo Šarčević, Prometej.ba

Povezano: Kratka povijest broja 0